Гетероскедастичность часть 3

Реферат на тему:

Гетероскедастичность

Понятие гетероскедастичности

Предположение, которые были сделаны при оценке параметров модели 1МНК [см. (4.2) & mdash; (4.5)], на практике могут нарушаться.

В разд. 6 были рассмотрены проблемы мультиколлинеарности, связанные с нарушением условия (4.5).

Теперь рассмотрим особенности эконометрического моделирования, когда нарушается условие (4.3), согласно которой предполагается, что отклонения имеют такое распределение вероятностей, который сохраняется для всех наблюдений. Тогда дисперсия остатков остается неизменной для каждого наблюдения.

Определение 7.1. Если дисперсия остатков стала для каждого наблюдения, то есть, то это ее свойство называется гомоскедастичность.

Часто в практических исследованиях явление гомоскедастичности нарушается. Испытания на наличие или отсутствие гомоскедастичности обычно не практикуется, но в большинстве случаев можно выяснить гипотезы о правдоподобии альтернативных предположений относительно пропорциональности ошибки в X. Так, например, при построении эконометрической модели, характеризующей зависимость между сбережениями и доходами населения на основании теоретической и практической информации, можно выдвинуть гипотезу, что дисперсия остатков по отдельным группам населения меняться и будет пропорциональна среднего дохода этой группы. Если рассматривать эконометрическую модель, характеризующая зависимость между дивидендами и размером прибыли или между расходами на питание и доходом на одного члена семьи, расходами на питание и общими расходами, то можно предположить, что дисперсия остатков для отдельных групп наблюдений меняться.

Определение 7.2. Если дисперсия остатков изменяется для каждого наблюдения или группы наблюдений, то есть, то это явление называется Гетероскедастичность * .

Если существует Гетероскедастичность остатков, то это вызывается к тому, что оценки параметров модели 1МНК будут несмещенными, обоснованными, но неэффективными. При этом формулу для стандартной ошибки оценки, строго говоря, применить нельзя.

предположим, что дисперсия остатков для модели пропорционально величины Х . Тогда целесообразно преобразовать исходной информации, поделив, например, все переменные на Х . Модель примет вид

.

В результате для оценки параметров можно применить 1МНК. Заметим, что параметры а 0 и а 1 поменялись ролями. Свободным членом модели вместо а 0 стал параметр а 1

Пример 7.1. построим эконометрическую модель, характеризующая зависимость между сбережениями и доходом населения, млрд ф. ст. (табл. 7.1).

Таблица 7.1

< td>

0,95

Год

1

2

3

< p> 4

5

6

7

8

9

Сбережения

0,36

0,2

0, 08

0,20

0,10

0 , 12

0,41

0,50

0,43

Доход

8,8

9,4

10,0

10,6

11,0

11,9

12,7

13,5

14,3

Год

10

11

12

< / TD>

13

14

15

16

17

18

Сбережения

0,59

0,90

0,82

1,04

1,53

1,94

1,75

1,99

Доход

15,5 < / p>

16,7

17,7

18,6

19,7

21,1

22 8

23,9

25,2

Воспользовавшись оператором оценивания 1МНК

получим = -1,081; = 0,1178.

Эконометрическая модель имеет вид

.

Коэффициент детерминации для этой модели = 0,918, а это значит, что вариация сбережений Y на 91,8% определяется вариацией доходов населения.

На первый взгляд, результат наводит на мысль, что спецификация модели не содержит ошибки.

Но логично выдвинуть гипотезу, что отклонение сбережений от нормы могут быть пропорциональными к доходу, то есть для этой модели очень вероятном существовании гетероскедастичности остатков.

Итак, исходную информацию целесообразно преобразовать, поделив обе переменные на величину дохода X (табл. 7.2)

Таблица 7.2

< td>

4

< td>

16

Год

1

2

3

5

6

7

8

9

< / TD>

0,041

0,022

0,008

0,019

0,009

0,010

0,032

0,037

0,030

0,114

0,106

0,100

0,094

0,091

0,084

0,079 < / p>

0,074

0,070

Год

10

11

12

13

14

15

17

18

0,038

0,054

0,054

< / TD>

0,044

0,053

0,073

0,085

0,073

0,079

0,065

0,060

0,056

0,054

0,051

0,047

0,044

0,042

0,040

Новое уравнение связи согласно данным табл.7.2 выглядит

.

В результате преобразования исходных данных практически полностью изменилась спецификация модели. Поскольку, то эта связь нелинейный. Во-вторых, характеризует относительный показатель & mdash; уровень сбережений, который приходится на единицу дохода.

Выполнив эту процедуру, получим следующее: наблюдения с меньшими значениями имеют относительно больший удельный вес при оценке параметров модели, чем в первом варианте.

Из приведенного примера видим, что явление гетероскедастичности влиять на оценки параметров 1МНК, если определенным образом преобразовать исходную информацию. При этом если эконометрическая модель имеет только две переменные, то это можно сделать так, как в примере 7.1.

Это преобразование, значительно усложняется, если строится эконометрическая модель с многими переменными. В таком случае нужно выяснить содержание гипотезы, согласно которой, где остается неизвестным параметром, а & mdash; известная симметричная положительно определенная матрица.

Методы определения гетероскедастичности

Возможность проверки предположений о наличии гетероскедастичности зависит от природы исходных данных. Рассмотрим методы проверки гетероскедастичности для различных исходных данных.

Проверка гетероскедастичности на основе критерия & # 61549;

Этот метод применяется тогда, когда исходная совокупность наблюдений достаточно велика. Рассмотрим соответствующий алгоритм.

Шаг 1. Выходные данные зависимой переменной Y разбиваются на k групп в соответствии с изменением уровня величины Y .

Шаг 2. По каждой группой данных вычисляется сумма квадратов отклонений:

Шаг 3. Определяется сумма квадратов отклонений в целом по всей совокупности наблюдений:

Шаг 4. Вычисляется параметр

где n & mdash; общая совокупность наблюдений; n r & mdash; количество наблюдений r  — й группы.

Шаг 7. Вычисляется критерий

который приближенно соответствовать распределения при степени свободы, когда дисперсия всех наблюдений однородна. То есть если значение не менее табличное значение при выбранном уровне доверия и степени свободы, то наблюдается Гетероскедастичность.

Пример 7.2. Для данных, приведенные в примере 7.1, проверим наличие гетероскедастичности согласно критерию & # 61 549; .

Решение.

Шаг 1. Разобьем данные, приведенные в табл. 7.1, на три группы, по шесть наблюдений в каждой.

< td>

0,08

< td>

1,75

группа I

группа II

группа III

0,36

0,41

0,82

0,20

0,50

1,04

0,43

1,53

0,20

0,59

1,94

0,10

0,90

0,12

0,95 < / p>

1,99

Шаг 2. Вычислим сумму квадратов отклонений индивидуальных значений каждой группы от своего среднего значения:

2.1.

2.2.

Шаг 3. Найдем сумму квадратов отклонений по всем трем группам:

= S 1 + S 2 + S 3 = 0,05313 + 0,2822 + 1,1703 = 1,5056 .

Шаг 4. Вычислим параметр

Шаг 5. Найдем критерий

Этот критерий приближенно удовлетворяет распределение & # 61539; 2 из k — 1 = 2 степенями свободы. Сравним значение критерия с табличным значением критерия & # 61 539; 2 из k  — 1 = 2 степенями свободы при уровне доверия 0,99 & # шестьдесят один тысяча пятьсот тридцать девять; 2кр = 9,21. Поскольку & # 61 549; > & # 61 539; 2кр, то дисперсия может изменяться, то есть для данных табл. 7.1 наблюдается Гетероскедастичность.